EXPONENCIAL - QUESTÃO 159- ENEM 2015 (PROVA AMARELA)

159) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria. 

Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t > =1?

a) P(t) = 0,5 · t^-1 + 8.000
b) P(t) = 50 · t^-1 + 8 000
c) P(t) = 4 000 · t^-1 + 8 000
d) P(t) = 8 000 · (0,5)^t-1
e) P(t) = 8 000 · (1,5)^t-1

Resposta.

Sempre que temos aumentos percentuais sucessivos (é comum lidarmos com juros sobre juros) a função que representa essa situação será exponencial.

A variável "tempo" será expoente.

Então a função será semelhante a de juros compostos, dada por

M = C(1+i)^t  , i é a taxa de juros | C é o capital | t o tempo

Lembrete: Montante = Capital + Juros

No lugar de montante vamos colocar o total de peças P(t), não estamos tradando de "capital" podemos substituir pelo numero de peças produzidos inicialmente (8000).

Outro ponto a se considerar é a taxa, era de 50% ou 0,5. 

Queremos que a função expresse o montante (total produzido), na formula de juros temos (1+i), aqui ficamos com (1+0,5) = 1,5

Até agora temos P(t) = 8000 . (1,5)^?

Resta definir o expoente, veja que no primeiro ano
P(1) = 8000

Temos algo assim
P(1) = 8000 . (1,5)^t+a = 8000

Logo,  precisamos que para t=1 que isto aconteça (1,5)^t+a = 1 e a unica maneira de dar certo é se

t + a = 0
1 + a = 0

a = -1

Daí segue que o expoente deve ser t-1

Juntando tudo, temos

P(t) = 8 000 · (1,5)^t-1 

Alternativa E