MMC - Mínimo Múltiplo Comum

Este conteúdo também se enquadra na série "pra que eu vou usar isso?". A resposta mais uma vez é categórica, vai ser útil na resolução de problemas!!

Do problema mais simples de somar uma fração ate problemas que envolvem algum tipo de interseção de eventos periódicos.

Então vamos a definição

Primeiro o que é um múltiplo? É o produto de qualquer quantidade de um inteiro. Por exemplo se a, b e n são números inteiros e b = a.n podemos dizer que b é um múltiplo de a. Sempre é bom um exemplo concreto pra ilustrar então observe 10 = 2 . 5, daí podemos dizer que 10 é um múltiplo de 2 e poderíamos dizer que é múltiplo de 5.

Poderíamos facilmente listar os primeiros multipolos dos primeiros naturais:

2 - 2, 4, 6, 8, 10, ... 
3 - 3, 6, 9, 12, 15, ... 
4 - 4, 8, 12, 16, 20, ... 
... assim por diante.

Agora podemos pensar em um minimo múltiplo comum, que é o menor múltiplo entre dois ou mas números. Vamos para exemplos:

Qual o MMC de 10 e 34?

Sabemos que 10 = 5.2 e 32 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2

Se tiver duvidas de como fatorar veja nosso post sobre o assunto clicando aqui.

Sabendo a fatoração de cada um 5 . 2 e 2⁵ e o mmc será 5.2⁵ = 5. 32 = 160 note que pegamos os primos com maior expoente presentes na fatoração de cada um.

Veja outros exemplos:

Obs: Fatorando os dois números ao mesmo tempo, o resultado obtido já é o mmc.

Uso em Frações:

Para somar ou subtrair frações precisamos calcular o mmc dos denominadores, se tem duvidas em relação ao procedimento adotado, veja nossa postagem sobre Significados de Frações e Suas Operações.

Problemas:

1) Três viajantes seguiram hoje para Petrolina. O mais Jovem viaja com o mesmo destino de 12 em 12 dias, o segundo, de 15 em 15 dias e o mais velho, de 20 em 20 dias. Daqui a quantos dias viajaram juntos?

A resolução é simples

mmc(12,15,20) 

12 = 2² . 3

15 = 3 . 5

20 = 2² . 5

mmc(12,15,20) = 2² . 3 . 5 = 60

O mmc soluciona este problema porque estamos interessados na menor quantidade de dias para que viajem juntos. Veja

12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...

15, 30, 45, 60, 75, 90, ...

20, 40, 60, 80, 100, 120, ...

2) Alguns cometas passam pela Terra periodicamente. O cometa A visita a Terra de 12 em 12 anos e o B, de 32 em 32 anos. Em 1910, os dois cometas passaram por aqui. Em que ano os dois cometas passarão juntos pelo planeta novamente?


a) 1995
b) 1998
c) 2000
d) 2004
e) 2006

Como estamos interessados na repetição do evento precisamos calcular o mmc entre 12 e 32

12 , 32 | 2
 6  , 16 | 2
 3  ,   8 | 2  

 3  ,   4 | 2
 3  ,   2 | 2
 3  ,   1 | 3
 1  ,   1     2⁵.3 = 32 . 3 = 96 anos

Descobrimos que o evento se repetirá depois de 96 anos. Como aconteceu em 1910, vai se repetir em 1910 + 96 = 2006

Alternativa E