TRIÂNGULO - QUESTÃO 151 - ENEM 2014 (PROVA ROSA)

151) Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.

A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é

a) 3.
b) 5.
c) 6.
d) 8.
e) 10.

RESPOSTA.
Devemos analisar a condição de existência do triangulo
Considere o triangulo ΔABC, com lados a, b e c

Para que o triangulo exista algumas condições devem ser satisfeitas
Para um lado qualquer do triangulo temos que ele é maior do que o módulo da diferença entre os outros dois lados do triângulo.
Ex: o lado a > |c-b|, o mesmo vale para os outros lados, ou seja, b>|c-a| e c>|a-b|
Note que está em modulo para garantir que dê um valor positivo já que queremos comparar medidas.

Outra condição precisa ser satisfeita, a soma de dois lados de um triângulo é maior do que o outro lado.
Ex: a + b > c, b + c > a e c + a > b

A questão pede que um dos lados tenha 6 palitos
Diante disso poderíamos pensar em várias possibilidades a + b + c = 17(total de palitos), mas devemos atentar para os requisitos ou condições para que possam ser lados de um triângulo.

Vamos as possibilidades, lembrando de fixar um lado com medida 6.
a=6, b=1 e c=10
Testando o lado a
a>|c-b|
6>|10-1|
6>9 falso, não precisamos seguir testando já que a condição não foi satisfeita

a=6, b=2 e c=9
Testando o lado a
a>|c-b|
6>|9-2|
6>7 falso

a=6, b=3 e c=8

Testando o lado a a>|c-b| 6>|8-3| 6>|5| OK b+c>a 3+8>6 11>6 OK	Testando o lado b b>|c-a| 3>|8-6| 3>|2| OK c+a>b 8+6>3 14>3 OK	Testando o lado c c>|a-b| 8>|6-3| 8>|3| OK a+b>c 6+3>8 9>8 OK

a=6, b=4 e c=7 

Testando o lado a a>|c-b| 6>|7-4| 6>|3|=3 OK b+c>a 4+7>6 11>6 OK	Testando o lado b b>|c-a| 4>|7-6| 4>|1|=1 OK c+a>b 7+6>4 13>4 OK	Testando o lado c c>|a-b| 7>|6-4| 7>|2|=2 OK a+b>c 6+4>7 10>7 OK

a=6, b=5 e c=6

Testando o lado a a>|c-b| 6>|6-5| 6>|1|=1 OK b+c>a 5+6>6 11>6 OK	Testando o lado b b>|c-a| 5>|6-6| 5>0 OK c+a>b 6+6>5 12>5 OK	Testando o lado c c>|a-b| 6>|6-5| 3>|1|=1 OK a+b>c 6+5>6 11>6 OK

Podemos fazer 3 triângulos distintos: 6-3-8, 6-4-7, 6-5-6

Alternativa A