Questão 20 IFPE - 2017 Integrado

20. Oito amigos decidiram brincar de telefone. Para isso, dispuseram-se em um terreno de modo que cada um estivesse no vértice de um octógono regular de lado medindo 20 metros, conforme figura 1.

Disponível em: . Acesso: 05 de out. 2016.

Cada telefone, que é intransferível, liga apenas dois dos amigos e é formado por dois copos, que não podem estar em dois telefones simultaneamente, e um barbante. Para que todos possam falar com todos através de um telefone desses, incluindo os amigos em vértices consecutivos, quantos telefones eles precisarão confeccionar?

a) 20
b) 28
c) 12
d) 10
e) 8

Resposta.

Para que todos se comuniquem precisamos descobrir o numero de diagonais de um octógono.

O número de diagonais de um poligono qualquer é dado por

D = n(n – 3)
            2

D = 8 . (8-5)/2 = (8 . 5)/2 = 40/2
D = 20 diagonais

Em um octógono temos 8 arestas

Somando
20 diagonais + 8 arestas = 28 telefones

Alternativa B


Mais se não soubermos essa formula?
Vamos tentar entender de onde ela vem. Considere um polígono com n lados

Um vértice qualquer do seu polígono de n lados tem (n-3) diagonais, já que temos que excluir ele  e os dois vértices vizinhos.

Exemplo: Um triangulo ABC não possui diagonais já que AB, BC, AC são arestas. A e C são vizinhos de B.

Um quadrado ABCD. Olhando pro vertice B, por exemplo, A e C não formam diagonais com ele. Só o vertice D. O mesmo acontece com A, excluindo seus vizinhos forma diagonal com C.

 Voltando, como temos n lados ficamos com
n . (n-3)
Agora perceba que as diagonal AC e CA  são iguais e isso vai se repetir, logo contamos duas vezes cada diagonal por isso a necessidade de dividir por dois.

D = n(n – 3)
            2

Formula para número de diagonais de um polígono qualquer