ANÁLISE COMBINATÓRIA - QUESTÃO 168 ENEM 2016 (Caderno 7 Azul)

Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. 

Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012. 

O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por

Resposta.

Temos duas letras(maiúsculas e minusculas) e dois algarismos que podem se repetir logo temos
10. 10 . 52 . 52 = 10² . 52²

A ordem pode ser trocada em 4! possibilidades, mas pode haver repetição (ex: aa11) para excluir os casos repetidos devemos dividir por 2!2!

Ficamos com
10².52² . 4! / 2!2!

Alternativa E

Vamos pensar numa quantidade menor, suponha que temos 0, 1 e as letras a,b o total de senhas é

2 . 2 . 2 . 2 = 16

00aa      01aa       10aa      11aa 
00ab      01ab      10ab      11ab
00bb      01bb      10bb     11bb
00ba      01ba      10ba      11ba

Quando multiplicamos por 4! calculamos o "embaralhamento" destes carcteres veja
4! = 4.3.2 = 24
Ex: 01ab

01ab    0ab1    a0b1
01ba    0ba1    a1b0
ab01    1ab0    b0a1
ba01    1ba0    b1a0
10ab    a10b    1a0b
10ba    a01b    1b0a
ab01    b10a    0a1b
ab10    b01a    0b1a

Perceba, finalmente que o exemplo escolhido tinha caracteres distintos. No caso do 00aa por exemplo
não temos 24 casos!

00aa
0aa0
aa00
a00a
a0a0
0a0a

apenas 6 casos! dai conclui-se que devemos dividir por 2! pela repetição do numero e 2! pela repetição da letra. Outra coisa quando embaralhamos 01ab e 01ba vamos contar mais de uma vez uma determinada senha, dividir por 2! exclui os casos de repetição.
O total de casos seria 3 . 3 . 3 . 3 . 4!/ 2! . 2!


Se o exemplo tivesse mais caracteres, suponha n caracteres para excluir repetições dividiríamos por n!

Espero ter sido claro e estou aberto a sugestões e dúvidas! abraços