QUESTÃO 23 SSA 3 UPE 2016

Uma reta r de equação ax + by + c = 0 tangencia a circunferência β de equação x² + y² – 2x – 6y – 8 = 0 no ponto P = (-2, 0). Qual é o valor de a + b + c?

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

Resposta.
Fazendo uns ajustes na equação da circunferência podemos descobrir seu Centro. Veja

 x² + y² – 2x – 6y – 8 = 0
(x² - 2x + 1) + (y² - 6y + 9) - 8 - 1 - 9 = 0
(adicionei 1 e 9 para formar quadrados perfeitos, depois subtrai os mesmos 1 e 9)
(x-1)² + (y-3)² = 18

O centro da circunferência é (1,3)

Uma solução é a seguinte, primeiro encontramos a reta que contem C(1,3) e P(-2,0), depois calculamos a reta perpendicular. Veja

Toda reta é da forma y=ax + b

Para calcular a temos
y -yo = (x-xo)a

3 - 0 = (1 -(-2))a
a = 3/3
a = 1
y = x + b
Para calcular b substituímos um ponto da reta, por exemplo, (-2,0)
0 = -2 + b
b = 2

Y = X + 2

Para calcular a reta perpendicular a y = x + 2 que passa no ponto P(-2,0), invertemos o valor de a
a = -1 e substituímos xo e yo pelo ponto P.

y - yo = (-1)(x -xo)
y - 0 = -1 . (x - (-2))
y = -1 (x+2)
y = - x - 2
x + y + 2 = 0
a+b+c = 1+1+2 = 4

Alternativa C

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