14- Circunferência inscrita em um triângulo - IFPE Integrado 2020.1

14. Uma praça tem o formato de um triângulo retângulo de catetos 30m e 40m. Deseja-se construir um lago circular no interior dessa praça (o lago pode tocar os limites da praça). Qual é a área do maior lago, em forma de círculo, que se pode construir totalmente no interior da praça?

a) 81𝜋 𝑚²
b) 169𝜋 𝑚²
c) 100𝜋 𝑚²
d) 144𝜋 𝑚²
e) 121𝜋 𝑚²

Resposta.

Para determinar a área do circulo primeiro precisamos descobrir o raio. (Lembre que a área da circulo é dado por A=𝜋.r²)

Para isso devemos conhecer as medidas de todos os lados do triangulo. Temos que 30m e 40m são os catetos precisamos calcular a medida da hipotenusa, veja:

Vamos usar o Teorema de Pitágoras:

H² = a²+b²

H² = 30²+40² = 900+1600 = 2500

Agora vamos recorrer ao Teorema de Poncelet que diz o seguinte sobre uma  circunferência inscrita em um triângulo retângulo:

"Em todo triângulo retângulo, a soma das comprimentos dos catetos é igual ao comprimento da hipotenusa mais o dobro do raio"

"Traduzindo para o nosso caso"

a + b = H + 2r

30 + 40 = 50 + 2r

70 - 50 = 2r

2r = 20

r = 20/2

r = 10 m

Finalmente agora que temos o raio, podemos calcular a área do lago (circular)

A = 𝜋.r²

A = 𝜋.10²

A = 100𝜋 m²

Conteúdos relacionados: 

Circunferência 

Triangulo Retângulo

Teorema de Pitágoras

Teorema de Poncelet

Alternativa C

Se preferir tem vídeo no canal resolvendo essa questão, se puder dar uma força entra lá e se inscreve! qualquer dúvida deixa ai nos comentários e bons estudos!