Logaritmos - QUESTÃO 165- ENEM 2015 (PROVA AMARELA)

Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y=log(x), conforme a figura.

A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros. A expressão algébrica que determina a altura do vidro é

a) $log\left (\frac{n+\sqrt{n^{2}+4}}{2}  \right )-log\left (\frac{n+\sqrt{n^{2}-4}}{2}  \right )$

b) $log\left (1+\frac{n}{2}  \right )-log\left (1-\frac{n}{2}  \right )$

c) $log\left (1+\frac{n}{2}  \right )+log\left (1-\frac{n}{2}  \right )$

d) $log\left (\frac{n+\sqrt{n^{2}+4}}{2}  \right )$

e) $2.log\left (\frac{n+\sqrt{n^{2}+4}}{2}  \right )$

Resposta

Primeiro vamos chamar de x o intervalo de 0 a n, que não sabemos seu valor.

Podemos extrair do gráfico as seguintes equações
$log(x) = -\frac{h}{2}$
$log(x+n) = \frac{h}{2}$
 
Somando as duas temos

$log(x) + log(x+n) = 0$
$log(x(x+n)) = 0$
$10^{0}=x(x+n)$
$1=x^{2}+nx$
Resolvendo a equação do segundo grau
$x^{2}+nx-1=0$
$\Delta =b^{2}-4ac$
$\Delta =n^{2}+4$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

$x=\frac{-n\pm \sqrt{n^{2}+4}}{2}$

Perceba que n>0 e que a única raiz que vai nos interessar é
$x=\frac{-n+ \sqrt{n^{2}+4}}{2}$
Pois a outra é negativa.
Finalmente podemos substituir o valor de x em uma das equações do inicio
$log(x+n) = \frac{h}{2}$ (essa por exemplo)
$log\left(\frac{-n+ \sqrt{n^{2}+4}}{2}+n\right) = \frac{h}{2}$
$log\left(\frac{-n+ \sqrt{n^{2}+4}}{2}+\frac{2n}{2}\right) = \frac{h}{2}$

$log\left(\frac{2n-n+ \sqrt{n^{2}+4}}{2}\right) = \frac{h}{2}$

$log\left(\frac{n+ \sqrt{n^{2}+4}}{2}\right) = \frac{h}{2}$

$2log\left(\frac{n+ \sqrt{n^{2}+4}}{2}\right) = h$

Alternativa E

Fiquem a vontade pra perguntar, espero ter ajudado e bons estudos!