Progressão Aritmética

E uma sequência de números, com a seguinte propriedade a partir do segundo termos a diferença de um numero da sequencia e seu antecedente é igual a uma constante "r", esta constante chamaremos de razão.

Ex: 2, 5, 8, 11, ...
É uma PA com razão 3, mais adiante veremos como calcular um termo qualquer dessa sequência



A notação que utilizamos é a seguinte
r = razão
a₁= Primeiro termo
a₂ = Segundo termo = a₁ + r
...
a_n = Termo geral = a₁ + (n-1)r

Como se chega nessa formula do a_n?
a₁
a₂ = a₁ + r
a₃ = a₂ + r = (a₁ + r )+ r = a₁ + 2r
a4 = a₃ + r = a₁ + 2r + r = a₁ + 3r
a₅ = a₁ + 4r (perceba que repetindo o processo podemos encontrar qualquer termo da sequência)
Agora preste atenção

a₅ = a₁ + 4r 

Tomando como exemplo o a₅ onde tem 5 vamos colocar n, note que 4 = 5-1 logo o 4 fica n-1 substituindo temos

Com esta formula somos capazes de calcular qualquer termo da sequência
Ex:
 2, 5, 8, 11, ...
Calcule o 16° termo da PA 2, 5, 8, 11, ...
a₁ = 2, r = 3

a₁₆ = 2 + (16-1)3 = 2 + 15 x 3 = 2 + 45 = 47

Podemos ter uma Progressão Aritmética, ou simplesmente PA, crescente ou decrescente dependendo do sinal de "r".

(1, 6, 11, 16, …)
Crescente (r = 6 − 1 = 5 > 0) infinita

(1, 6, 11, 16)
Crescente (r = 6 − 1 = 5 > 0) finita

(35,28,21,14,7,0,-7,...)
Decrescente (r = 28 - 35 = -7 < 0 ) infinita
(35,28,21,14,7,0,-7)
Decrescente (r = 28 - 35 = -7 < 0 ) finita

Resolvendo exercícios pode ser interessante pensar da seguinte forma
Sejam a, b, c termos de uma PA
podemos reescrevê-lo de várias maneiras
i) a, a+r, a+2r
ii) b-r, b, b+r
iii) a, (a+c)/2, c, note que
b = a + r
r = b-a
c = a + 2r = a +2(b-a)
c = a -2a + 2b = -a + 2b
2b = a + c
(o termo do meio é a média aritmética dos seus "vizinhos")

Para concluir e se quiséssemos a soma dos termos de uma PA?
Imagine a sequência dos naturais de 1 até 100, queremos encontrar a soma que chamaremos de S

S   =   1   +   2   +   3  + ...+100 podemos escrever de outra forma
S  = 100 + 99 + 98 +  ...  +  1 somando as duas
2S = 101 + 101 + 101 +...+101 (note que temos 100x101)
2S = 100x101
S = 100x101/2
Em termos de variaveis
n = 100
101 = a₁ + a_n (Primeiro termo + Ultimo termo)
ficamos com

Confira algumas questões com esse assunto nos link's abaixo

Questão 16 SSA2 UPE 2016

Questão 18 SSA 2 UPE 2017

Questão 19 SSA 2 UPE 2014