LOGARITMO - QUESTÃO 160 - ENEM 2016 (Caderno 7 Azul)

Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3000°C e diminui 1% a cada 30 min.
Use 0,477 como aproximação para log₁₀(3) e 1,041 como aproximação para log₁₀(11).
O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 °C é mais próximo de

a) 22.
b) 50.
c) 100.
d) 200.
e) 400.

Resposta

Note que queremos o tempo em horas e foi dado que diminui 1% a cada 30min. Vamos montar nossa função usando 2t.

ATUALIZAÇÃO : Se usarmos t vamos descobrir quantos intervalos de 30min são necessários para que a temperatura chegue em 30°C. Optei por usar 2t porque dessa maneira obtemos o tempo em horas, evitando um erro de esquecer de converter depois.

Podemos armar a seguinte função
F(t) = 3000(1 - 0,01)^2t
F(t) = 3000 (0,99)^2t    essa função representa a temperatura a cada hora

Dica: a ideia é semelhante a juros composto (lembra da formula M = C(1+i)^t, neste caso estamos dando um "desconto" de 1%, ou seja, o valor fica 99% do que era.


Queremos saber o tempo para que a temperatura seja de 30° logo
30 = 3000 (0,99)^2t
30/100 = (99/100)^2t

1/100 = (99/100)^2t

Agora podemos usar log para descobrir t veja
log(1/100) = log (99/100)^2t

log 1 - log 100 = 2t . log (99/100)

0 - 2 = 2t (log 99 - log 100)
-2 = 2t (log(3².11) - 2)
-2 = 2t (log 3² + log 11 -2)
-2 = 2t (2 . log 3 + log 11 - 2)
-2 = 2t ( 2. 0,477 + 1,041 -2)
-2 = 2t (0,954 + 1,041 - 2)
-2 = 2t (1,995 - 2)
-2 = 2t (-0,005)
-2 = t (-0,01)   .(-1)
t = 2/0,01
t = 200

Sinalizei com cores as propriedades de logaritmo que utilizei
I) log a = x  => 10x = a (quando omitimos a base significa que está na base de 10)
II) log a.b = log a + log b
III) log a/b = log a - log b
IV) log a^b = b log a

Alternativa D

Obs: nada impede de fazer as contas usando t, você chegará ao resultado 400, mas seriam 400 intervalos de 30min, ou seja, 200 horas.