Sólidos de Platão

Talvez você não faça ideia do que eles são, mas com certeza já se deparou com vários deles. Com certeza você já lançou um dado(cubo) ou viu um balão de São João(octaedro).

O que diferencia um sólido qualquer de um sólido platônico é que os platônicos tem faces iguais e são polígonos regulares (triangulo equilátero, quadrado e pentágono).

Ao todo temos 5 sólidos platônicos são eles:

É possível demonstrar que só existem estes e uma forma de ver isso é pela construção destes sólidos.

Veja
Com o triangulo equilátero podemos fazer: Tetraedro, Octaedro e icosaedro .
Prestem atenção no angulo de 60°

Tetraedro Planificado

(Solido com quatro faces, todas triângulos equiláteros)

Vamos olhar para um vértice qualquer e analisar as possibilidades, no tetraedro temos 3 angulo de 60° totalizando 180°! tudo certo até ai, no octaedro temos 4 triângulos por vértice veja

Octaedro Planificado

(Solido com oito faces, todas triângulos equiláteros)

Totalizando 4x60 = 240°, por fim o icosaedro tem 5 triângulos por vértice

Icosaedro Planificado

(Solido com vinte faces, todas triângulos equiláteros)

O total em graus é 5x60=300°, o argumento para a impossibilidade de outro solido platônico com triângulos equiláteros é que se colocarmos 6 triângulos equiláteros teríamos 6x60=360°(uma volta completa) não seria um vértice e sim o próprio plano.

Logo com 6 triângulos não é possível formar um vértice de um poliedro e consequentemente não existe poliedro com 6 triângulos adjacentes a um vértice.

O mesmo raciocínio se estende aos outros polígonos. Com quadrado só é possível fazer o cubo e com o pentágono o dodecaedro. Veja que hexágonos não podem formar um sólido pois possuem ângulos internos de 120° e precisamos de no minimo três faces para cada vértice, o que daria 3x120=360 o próprio plano! Com isso segue que só temos 5 poliedros com faces iguais e figuras planas regulares (sólidos de Platão)

Uma sugestão de conteúdo é a aula 10 do Portal da Matemática