EQUAÇÃO DO 2°GRAU (PARÁBOLA) - Concurso para Soldado PM-PE 2016 - 32 (Prova Branca) - UPENET/IAUPE

Um foguete foi lançado de um ponto O do solo e descreveu uma trajetória em forma de parábola, até retornar ao solo. Se ele atingiu as alturas de y = 35m e y = 60m nos instantes x = 10s e x = 20s, respectivamente, qual foi a altura máxima alcançada por ele? 

A) 40 m
B) 50 m
C) 60 m
D) 80 m
E) 70 m

Resposta.

Uma parábola pode ser descrita por uma equação do 2°grau da forma
$y=ax^{2}+bx+c$ (I)

Precisamos encontrar está equação para depois calcular $y_{v}$ (altura máxima)

Vamos encontrar a,b e c.
Primeiro observe que o foguete foi lançado da origem(ponto 0,0) do plano.
Daí podemos concluir que para x = 0, y = 0
Substituindo em (I) temos
$0=a0^{2}+b0+c$
$c=0$

Falta descobrir o a e b
A questão nos diz que para x = 10 , y = 35

$35=a.10^{2}+b.10$
$35=100a+10b$

e que para x=20 , y = 60

$60=a.20^{2}+b.20$
$60=400a+20b$

Estamos diante de um Sistema de Equações do 1°, resolvendo este sistema encontraremos os valores procurados.
Farei pelo método da adição
$35=100a+10b$ (-2)
$60=400a+20b$

$-70=-200a-20b$
   $60=400a+20b$ (adicionando as duas)
$-10 = 200a$

$a = \frac{-10}{200}$
$a = \frac{-1}{20}$

Substituindo o valor de a em qualquer uma das equações encontramos b

$35=100.\frac{-1}{20}+10b$

$35=\frac{-100}{20}+10b$

$35=-5+10b$

$35+5=10b$

$40=10b$

$b=4b$

Ficamos com a seguinte equação

$y= \frac{-1}{20}.x^{2}+4x$

Finalmente, a formula para encontrar o Y do vértice (altura máxima) é dada por $$y_{v}=\frac{-\Delta}{4a}$$
Lembrando que $\Delta=b^{2}-4ac$
$\Delta=4^{2}-4\frac{-1}{20}.0$
$\Delta=16$

Substituindo temos:
$$y_{v}=\frac{-16}{4.\frac{-1}{20}}=\frac{-16}{\frac{-4}{20}}$$
$$y_{v}=\frac{16}{\frac{4}{20}}=16.\frac{20}{4}$$

$$y_{v}=4.20=80$$

A altura máxima é foi de 80 metros

Alternativa D