PA- Concurso para Soldado PM-PE 2016 - 27 (Prova Branca) - UPENET/IAUPE

Em uma campanha de doações à Creche Marias de Deus, feitas por um grupo de lojistas de uma pequena cidade, foram arrecadados R$ 17.600. Na reunião que decidiu quanto aos valores a serem doados por cada lojista, ficou acordado que a loja de menor lucro líquido anual doaria R$ 800, a segunda loja de menor lucro líquido anual, R$ 400 a mais que a primeira, a terceira, R$ 400 a mais que a segunda e assim sucessivamente. Quantas lojas fizeram doação à Creche Marias de Deus? 

A) 6 

B) 9

C) 8

D) 10

E) 11

Resposta.

Temos uma sequencia que cresce 400 de um termo para outro, ou seja, uma Progressão Aritmética (PA). Veja

800, 800+400=1200, 1200+400=1600, ... , X

Não sabemos a quantidade de lojas n
A1 = 800
r = 400
Sn = 17600
queremos descobrir n

Formula do Termo geral da PA

$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$

Vamos combinar com a formula de Soma da PA

$S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n}).n}{2}$

Onde tem An vamos substituir por $a_{1}+(n-1)r$

$S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{1}+(n-1)r).n}{2}$

Agora vamos substituir os valores que temos A1, r, Sn
$17600=\frac{(800+800+(n-1)400).n}{2}$
$17600=\frac{(1600+400n-400).n}{2}$
$17600=\frac{(1200+400n).n}{2}$
$17600=\frac{1200n+400n^{n}}{2}$
$35200=1200n+400n^{2}$
$400n^{2}+1200n-35200=0$  $:400$
$n^{2}+3n-88=0$

$\Delta=b^{2}-4.a.c$
$\Delta=3^{2}-4.1.(-88)$
$\Delta=9+352$
$\Delta=361$

Finalmente
$n=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
$n'=\frac{-3+\sqrt{361}}{2}=\frac{-3+19}{2}=\frac{16}{2}=8$

$n''=\frac{-3-\sqrt{361}}{2}=\frac{-3-19}{2}=\frac{-22}{2}=-11$ 

Só podemos considerar valores positivos de n, pois n é o número de lojas!

Logo n = 8

Alternativa C