14- Notação Científica e Juros Compostos - SSA1 2018

A população inicial de uma colônia de bactérias, que cresce 40% a cada hora, é de $8\cdot10^{5}$ bactérias. Qual é o número aproximado de bactérias dessa colônia ao final de 16 horas? 

 a) $1,7 ×10^{8}$

 b) $2,2 ×10^{5}$

 c) $1,8 ×10^{6}$

 d) $3,4 ×10^{8}$

 e)  $4,6 ×10^{5}$

Resposta.

A população inicial de bactérias é $8\cdot10^{5}$ 

A cada hora aumenta em 40%

tempo de 16h

Para resolver esta questão precisamos pensar na formula de juros compostos, mas especificamente no Montante. Por quê? A população de bactérias aumenta na primeira hora 40%, mas na segunda hora essa população vai aumentar mais 40% em cima da atual população (ideia de montante). O que nos remete também ao juros sobre juros (juros compostos).

$M = C(1+i)^t$

Neste caso, M (montante) será trocado por $P_2$ (população final de bactérias) e o C(capital) será tocado por $P_1$ (população inicial de bactérias).

As outras variáveis podem ser mantidas. Ficamos com

$P_2=P_1(1+i)^t$

$P_2=8\cdot10^{5}\cdot(1+0,4)^{16}$

$P_2=8\cdot10^{5}\cdot(1,4)^{16}$

$P_28\approx\cdot10^{5}\cdot217,56$

$P_2\approx17740,48\cdot10^{5}$

$P_2\approx1,7\cdot10^3\cdot10^{5}$

$P_2\approx1,7\cdot10^8$

Observação: $1,4^{16}$ pode ser calculado por partes

podemos dividir, por exemplo em potencias de 2

$(1,4)^{2}\cdot(1,4)^{2}\cdot(1,4)^{2}\cdot(1,4)^{2}\cdot(1,4)^{2}\cdot(1,4)^{2}\cdot(1,4)^{2}\cdot(1,4)^{2}=$

$(1,96)\cdot(1,96)\cdot(1,96)\cdot(1,96)\cdot(1,96)\cdot(1,96)\cdot(1,96)\cdot(1,96)=$

$(1,96)^2\cdot(1,96)^2\cdot(1,96)^2\cdot(1,96)^2\approx$

$3,84\cdot3,84\cdot3,84\cdot3,84=$

$(3,84)^2\cdot(3,84)^2\approx$

$14,75 \cdot 14,75\approx217,56$

O uso do sinal $\approx$ significa que realizamos algumas aproximações, por exemplo, $1,96^{2}=3,8416$ e usamos apenas 3,84.Lembrando que temos a liberdade de aproximar alguns valores já que o enunciado da questão está pedindo o valor aproximado!

Outra ideia é  $1,4^{16}=1,4^{8}\cdot1,4^{8}$ 

então precisamos de calcular 1,4^8

$1,4 \cdot 1,4 = 1,96$  ($1,4^2$)

$1,96 \cdot 1,96 = 3,8416$ ($1,4^4$)

$3,84 \cdot 3,84\approx14,74$ ($1,4^8$)

finalmente $1,4^{16}\approx 14,74\cdot14,74 \approx217,43$