16 - Sen$\theta$, área e paralelogramo - FUVEST 2020 (1ªFase)

16) Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, cujos centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam‐se de tal forma que o paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração desse objeto, associa‐se $\theta$ ,a medida do menor ângulo interno do paralelogramo. A área da região delimitada pelo paralelogramo quando $\theta$= 90° é A.

Para que a área da região delimitada pelo paralelogramo seja A/2 , o valor de $\theta$ é, necessariamente, igual a

(A) 15°. 

(B) 22,5°. 

(C) 30°. 

(D) 45°. 

(E) 60°.

Resposta.

Sabemos que a área do paralelogramo é calculada por base x altura

Para que a área do paralelogramo seja A/2, ou seja, metade da área do retângulo precisamos que a altura seja exatamente h/2(metade da altura do retângulo).

Podemos encontrar esse ângulo observando o sen($theta$)

sen($\theta$)=cateto oposto/hipotenusa

note que a hipotenusa é a altura do retângulo(h)

e o cateto oposto é a altura do paralelogramo(h/2)

$sen(\theta)=\frac{\frac{h}{2}}{h}=\frac{h}{2}\cdot\frac{1}{h}=\frac{1}{2}$

Concluímos que $\theta$=30°

Alternativa C

Importante saber os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis (30°,45° e 60°)