20- Diagonais do decágono - SSA1 2018

20. Algumas diagonais do decágono regular passam pelo seu centro e outras não. Sendo assim, escolhendo-se ao acaso uma diagonal desse polígono, qual é a probabilidade de ela não passar pelo centro do decágono? 

a)  6/7 

b) 1/2 

c) 3/4 

d) 3/5 

e) 1/7 

Resposta.

precisamos saber primeiro quantas diagonais um decágono regular possui.

Vamos utilizar a seguinte formula

$D=\frac{n\cdot(n-3)}{2}$, onde n é o número de lados do polígono

$D=\frac{10\cdot(10-3)}{2}$

$D=\frac{70}{2}=35$

Precisamos saber agora quantas passam no centro

Pela imagem vemos que são 5 diagonais

Lembrete: $probabilidade=\frac{caso.específico}{total.de.casos}$

Nosso caso específico era "não passar no centro", ou seja, 35(total) - 5(diagonais que passam no centro)

A probabilidade de não passar no centro é de 30/35 = 6/7

Alternativa A

Vamos refletir um pouco sobre esta fórmula. 

$D=\frac{n\cdot(n-3)}{2}$

Note que o numero de diagonais que partem de um vértice é (n-3), ou seja, temos que subtrair o próprio vértice e seus "vizinhos". Isso vale para qualquer polígono! Depois multiplicamos por "n" porque temos "n" vértices no polígono. Até agora temos $n\cdot(n-3)$, mas porque dividir por 2?

Quando fazemos esse produto($n\cdot(n-3)$) contamos cada diagonal duas vezes! Então dividir por 2 corrige esse problema e assim encontramos o número de diagonais de um polígono regular qualquer!

 $D=\frac{n\cdot(n-3)}{2}$