SSA 1 UPE 2017 - Área, perímetro e função

Em torno de um canteiro retangular de 12 m de comprimento por 8 m de largura, pretende-se construir uma calçada. Qual deve ser a largura máxima dessa calçada, se o material disponível só é suficiente para cimentar uma área de 69 m² ? 

a) 1,0 m 
b) 1,5 m 
c) 2,0 m 
d) 2,5 m 
e) 3,0 m 

Resposta.

Veja esta imagem

Note que a calçada contorna todo o retângulo. Sua área depende de sua largura.

Supondo 1 m de largura, teríamos 

A = 8 . 1 + 8 . 1 + 12 . 1 + 12 . 1 + 4 = 44 m²

(note que somamos 4 no fim, seriam esses quadrados cinzas cada um com 1m² de área, daí a importância de esboçar a figura)

Se a largura for 1,5 m

A = 8 . 1,5 + 8 . 1,5 + 12 . 1,5 + 12 . 1,5 + 4 . 1,5 . 1,5 = 12 + 12 + 18 + 18 + 9 =

(dica multiplicar por 1,5 e somar o número a sua metade, exemplo, 4 . 1,5 = 4 + 2 = 6)

A = 69 m²

Exatamente a área que o material disponível é suficiente para cobrir. Alternativa B.

Existem outras maneiras de fazer... por exemplo, podemos encontrar uma função que represente essa área. Veja

A(x) = 8x + 8x + 12x + 12x + 4x² = 69

Temos uma função quadrática e podemos encontrar suas raízes, ou seja, podemos descobrir para qual valor de x essa expressão é verdadeira.

A(x) = 4x² + 40x - 69 = 0

$\Delta=40^2-4.4.(-69)$

$\Delta=1600+1104=2704$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2.a}=\frac{-40\pm \sqrt{2704}}{2.4}$

$x=\frac{-40\pm 52}{8}$

$x'=\frac{-40+ 52}{8}=\frac{12}{8}=1,5$

$x"=\frac{-40- 52}{8}=\frac{-92}{8}=-11,5$

Nesse caso -11,5 não serve pois estamos falando de uma medida(largura) que é positiva, logo x=1,5