SSA1 UPE 2017 - Gráfico de Função Quadrática

Um professor de matemática apresentou a seguinte função quadrática para os seus alunos: $F_1(x) = x² - 2x + 1$. Em seguida, começou a alterar os valores do termo independente de x dessa função, obtendo três novas funções: 

$F_2(x) = x² - 2x + 8;$

$F_3(x) = x² - 2x + 16;$

$F_4(x) = x² - 2x + 32.$

Sobre os gráficos de $F_2(x)$, $F_3(x)$ e $F_4(x)$, em relação ao gráfico da função $F_1(x)$, é CORRETO afirmar que 

a) interceptarão o eixo “x” nos mesmos pontos. 
b) interceptarão o eixo “y” nos mesmos pontos. 
c) terão o mesmo conjunto imagem. 
d) terão a mesma abscissa (terão o mesmo “x” do vértice). 
e) terão a mesma ordenada (terão o mesmo “y” do vértice).

Resposta.

Algumas considerações importantes

i) Primeiro como o coeficiente "a" é o mesmo em todas as funções a parábola terá a curvatura voltada para cima e mesma forma. Variar o coeficiente a interfere diretamente na curvatura

ii) Variar o coeficiente b modifica as coordenadas de $X_v$, como em todas as funções b=-2 podemos dizer que terão a mesma coordenada x do vértice.

podemos ver no vídeo que a parábola se desloca ao "em torno" do coeficiente c.

iii) O coeficiente c que foi modificado nas funções indica o ponto onde a parábola intercepta o eixo y, veja

Uma outra forma de ver é pensar que quando x = 0 temos

F(x)=ax²+bx+c

F(0) = c

Sabendo disso vamos avaliar cada afirmação

interceptarão o eixo “x” nos mesmos pontos.  Não, pq alterando o c teremos mudanças no $\Delta$ consequentemente as raízes vão mudar. Lembrando que as raízes são os pontos que interceptam o eixo x.

 interceptarão o eixo “y” nos mesmos pontos. Não, o coeficiente c indica a coordenada y quando x=0, logo variando o c o ponto que intercepta o eixo y muda.

terão o mesmo conjunto imagem. Não, alterar o coeficiente c gera uma translação do gráfico na vertical, ou seja, ele se desloca pra cima ou pra baixo e isso altera o conjunto imagem.

terão a mesma abscissa (terão o mesmo “x” do vértice).  Sim, como vimos o coeficiente b é igual em todas as funções logo Xv também será.

terão a mesma ordenada (terão o mesmo “y” do vértice). Não como vimos variar coeficiente c gera uma translação vertical no gráfico, logo, Yv se altera.

Alterntiva D